¢1 : Décente de charges Combinaison d’actions

Définitions

Buts de la Mécanique:

– Etudier l’équilibre des solides (statique) ou le mouvement (dynamique)

– Déterminer un état de contrainte et un état de déformation en tout point de la matière (R.d.M)

Définition du solide en statique.

En statique, un solide est un corps :

Homogène : la masse est répartie de façon homogène sur tout le volume.

Géométriquement parfait : les défauts de forme ne sont pas pris en compte dans la schématisation du solide.

Indéformable : on ne tient pas compte des déformations du solide soumis à un effort.

Isotrope : le solide a les mêmes caractéristiques mécaniques dans toutes les directions.

Principe des actions mutuelles

Pour deux solides 0 et 1 en contact, l’action exercée par le solide 0 sur le solide 1 est égale et opposée à l’action exercée par le solide 1 sur le solide 0.

Les actions mécaniques ou charges.

Les actions mécaniques représentent les efforts exercés sur des solides ou entre solides. Ces actions mécaniques sont schématisées ou modélisées par des forces et des moments.

 

Il existe deux types d’actions mécaniques :

Les actions à distance

Les actions de contact

Les actions mécaniques à distance

On se limitera au poids d’un solide (effet de la gravité).

 

Le poids est représenté par un vecteur P :

Point d’application : centre de gravité G

P

Direction : verticale

Sens : vers le bas

Intensité : P = M g  (N)

M : masse en Kg

g = 9,81 m/s² : accélération de la pesanteur

ou attraction terrestre

 

Dans le domaine du Génie Civil, on prendra :

• pour un solide en surface (plancher) : le poids surfacique (relatif à une surface) N/m²
• pour un solide en longueur (poutre) : le poids linéaire (relatif à une longueur) N/m

 

Exemple :

Déterminer le poids surfacique d’un plancher de 18 cm d’épaisseur.

Déterminer le poids linéaire d’une poutre de section 50×20 cm.

Données : Poids volumique du béton armé 25 kN/m³

Les actions mécaniques de contact

Actions de contact ponctuelles (charges concentrées)

Si deux solides sont en contact en un point ou sur une très petite surface, l’action de contact est représentée par un vecteur force dont le point d’application est le point de contact.

 

1

2

F2/1

Exemple : Appui d’une poutre sur une poutre.

 

 

 

 

 

 

 

 

Unité : N

Actions de contact linéiques (charges réparties)

Si deux solides sont en contact suivant une ligne, l’action est schématisée par un vecteur force q appliqué sur toute la ligne de contact.

 

Exemple : Cloison sur plancher.

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Unité : N/ml

 

Actions de contact ou charges réparties sur une surface

Exemple : Vent sur mur.

 

 

 

schématiquement

 

 

 

 

Vent

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢2 : ETUDE DES LIAISONS

PRESENTATION

Dans le bâtiment, les liaisons entre solides se ramènent à trois familles principales :

Appui simple, articulation ou pivot et encastrement.

 

Chaque famille peut supporter ou transmettre des efforts différents.

EFFORT TRANSMISSIBLE PAR UNE LIAISON

L’action exercée par les surfaces de liaison des solides (0 et 1) en contact est schématisée par une résultante S (coordonnées S_x et S_y ) et un moment éventuel M.

 

Type de liaison	Actions de contact entre 0 et 1	Exemples
Appui simple (1 inconnue)
Articulation ou Pivot (2 inconnues)
Encastrement (3 inconnues)

Plus généralement

Suivant la nature de la liaison entre deux solides, les six coordonnées Sx, Sy, ……..Mz, du torseur peuvent être nulles ou non. (Mouvements possibles ou non).

 

Þ L’ensemble des coordonnées non nulles caractérisent l’effort transmissible par la liaison. (Par conséquent une coordonnée nulle signifie que le mouvement correspondant et libre entre les deux solides)

 

Þ Le nombre de degré de liberté correspond au nombre des composantes nulles du torseur associé.

Remarque :

– La somme des efforts transmissibles et des degrés de liberté est égale à 6 dans l’espace et à 3 dimensions dans le plan (nombre de coordonnées du torseur).

– Si le nombre d’efforts transmissibles­, le nombre des degrés de liberté¯.

– Les efforts transmissibles par une liaison correspondent généralement aux actions cherchées en statique = nombre d’inconnues de statique.

Liaisons	Schéma	Mvt. relatifs de liberté	Torseur des interactions	Exemples dans le bâtiment
Encastrement		0 Translation 0 Rotation   Þ 0 °d de liberté	Sx   Mx Sy   My Sz   Mz
Articulation (pivot)		0 Translation 1 Rotation   Þ 1 °d de liberté	Sx   0 Sy   My Sz   Mz
Appui simple (ponctuel) (suivant z)		2 Translations 3 Rotations   Þ 5 °d de liberté	0   0 0   0 Sz   0
Appui plan		2 Translations 1 Rotation   Þ 3 °d de liberté	0   Mx 0   My Sz   0

Nombre d’inconnues induites par les liaisons

Dans l’espace :

Appui simple ® 1 inconnue : Sz.

Intensité de Sz inconnue

direction connue ^ au plan de contact.

 

Articulation ® 5 inconnues

 

Encastrement  ® 6 inconnues

Dans le plan :

Appui simple ® 1 inconnue : Sz.

Intensité de Sz inconnue

direction connue ^ au plan de contact.

 

Articulation ® 2 inconnues : direction et intensité de S (= Sx, Sy) (Mz = 0)

 

Encastrement  ® 3 inconnues : direction et intensité de S (= Sx, Sy) et intensité de Mz

 

Exemples de différents types d’appuis de poutre

 

 

 ¢3 : CONDITIONS GENERALES DE L’EQUILIBRE

Hypothèses

Tous les corps étudiés sont indéformables.

Les coordonnées d’un point quelconque sont constantes.

Les supports des forces sont invariables.

But :

On veut déterminer les actions extérieures agissant sur un système, dans le but ultérieur d’appliquer la R.d.M.

Un système étant composé d’un solide unique ou d’un ensemble de solides.

Notion d’action mécanique de liaison extérieure et intérieure à un système donné :

Généralités :

– A chaque liaison s’exercent des actions mécaniques (Forces et moments) dites de liaison, correspondant à l’action d’une barre sur une autre (plus généralement d’un système sur un autre au niveau de cette liaison).

– Ces actions mécaniques sont dites :

Extérieures au système lorsqu’elles remplacent l’action d’une liaison que l’on vient de couper pour isoler ce système.

Intérieures au système quand la liaison n’a pas été coupée.

 

Exemple :

Soit le système (potence) modélisé ci-dessous composé de plusieurs solides (CE=3 ; CA=1 ; BD=2)

 

Cette potence est scellée (Encastrée) dans le sol.

A

B

C

D

E

3

2

1

F

Donnez :

 

a/ Au moins 2 actions extérieures au système Potence (1+2+3)

 

b/ Au moins 2 actions intérieures au système Potence (1+2+3)

 

c/ Au moins 3 actions extérieures au système 1

 

b/ Au moins 2 actions intérieures au système 1+3

 

 

Enoncé du principe Fondamental de la statique (P.F.S):

Pour qu’un solide soit en équilibre (statique) il faut qu’il ne subisse aucun déplacement :

Pas de translation (dans n’importe quelle direction).

Pas de rotation

Donc un solide indéformable en équilibre sous l’action de n forces extérieures (F₁,F₂,….,F_n) reste en équilibre si :

 

la somme vectorielle S de toutes les forces extérieures est nulle (pas de translation)

åFext = F₁ +F₂+ …..+F_n =0

 

En projection sur x et y : 2équations

åFx = F₁x+F₂x+…….+Fnx=0    (1)

åFy = F₁y+F₂y+……..+Fny=0   (2)

 

Le moment résultant MI en n’importe quel point I de toutes les forces extérieures est nul (Pas de rotation).

åM_I(Fext) = M_I(F₁)+ M_I(F₂)+…….+ M_I(Fn) =0   (3)

 

Dans le plan :

1/ å F(x) = 0

2/ å F(y) = 0

3/ å M(z) = 0

3 équations de la statique Þ 3 inconnues.

 

Dans l’espace :

1/ å F(x) = 0                          4/ å M(x) = 0

2/ å F(y) = 0                          5/ å M(y) = 0

3/ å F(z) = 0                           6/ å M(z) = 0

6 équations de la statique Þ 6 inconnues.

Cas particuliers :

Solide soumis à l’action de 2 forces

Un solide soumis à 2 forces est en équilibre si les 2 forces sont directement opposées :

 

Solide soumis à l’action de 3 forces (dans le plan:)

Un solide soumis à 3 forces est en équilibre si:

Les 3 forces sont concourantes.

La dynamique des forces est fermée.

 

 

 

 

Résolution d’un problème de statique :

Pour résoudre un problème de statique : 3 étapes sont nécessaires

Etablir le schéma mécanique

Un schéma mécanique est un schéma modélisé (simplifié) de la structure sur lequel seules apparaissent les forces extérieures agissant directement sur le système.

Méthodologie :

Modéliser le système :

Consiste à simplifier le dessin du système (gain de temps) tout en  gardant statiquement équivalent :

– Garder la forme générale du solide (ou les solides) et le représenter par sa fibre moyenne.

– Schématiser les différentes liaisons (voir chap.II)

Isoler le système matériel à étudier :

– “couper “au niveau des liaisons du système à étudier avec l’extérieur

– remplacer les liaisons coupées par les actions mécaniques associées.

Ajouter les actions extérieures :

– représenter les actions extérieures (charges d’exploitation, charges permanentes) par des vecteurs forces (charges ponctuelles, charges réparties) ou des vecteurs moments.

– indiquer toutes les cotes nécessaires.

Faire le bilan

– Faire le bilan des inconnues (I)

– Faire le bilan des équations possibles (E) dans notre exemple :

si I £ E résoluble.

I > E non résoluble.

Appliquer le principe fondamental de statique :

Dans le plan :

3 équations pour 3 inconnues (en général : actions de contact). Le système est dit isostatique.

Résoudre le système d’équations

Rappels et Remarques :

a/ Actions extérieures (à un système) : Actions directement appliquées sur le système (dont poids) et actions des liaisons coupées

 

b/ Les coupures devront être choisies de façon à faire apparaître les actions recherchées (Þ choix de l’élément à isoler).

 

c/ Intérêt des systèmes soumis à 2 forces.

Le seul intérêt (non négligeable) d’un élément soumis à deux forces est de donner la direction des forces (puisque opposées) qui se traduit par une équation supplémentaire dans la résolution de la statique de la forme : .

 

Exemple :

Modélisation Þ

 

Dans notre exemple.

g   charge permanente : poids propre.

q  charge d’exploitation : poids des personnes.

F  charge d’exploitation horizontale.

 

METHODE DE RESOLUTION DES PROBLEMES DE STATIQUE

 

OBJECTIF DU PROBLEME: Déterminer complètement les actions mécaniques exercées sur un solide appartenant à un ensemble de solides donnés.

Modaliser le système, en le schématisant et en modalisant les différentes liaisons entre les éléments

Isoler un solide et établir son schéma mécanique C’est réaliser ces deux étapes

Extraire le solide de l’ensemble, en coupant au niveau des liaisons avec les autres éléments. Dessiner le solide seul dans la même position graphique.

Remplacer toutes les liaisons coupées par le système de forces associées.

Ajouter les actions à distance (poids, charges sur l’élément).

Faire le BILAN de toutes les actions inconnues agissant sur le solide. et le BILAN des équations possibles

TEST

Résoudre graphiquement ou analytiquement. (Choisir la méthode la plus performante) en appliquant le P.F.S. a partir des éléments Choisir ‘a la méthode du bilan précédent la plus performante OUI NON   Déterminer d’autres éléments ( en isolant d’autres solides ) et en faisant intervenir le PRINCIPE des actions mutuelles. Exemple : éléments biarticulés La Résolution est-elle possible à partir du bilan précédent

RESULTATS : Le problème est terminé lorsque toutes les actions agissant sur le solide sont entièrement connues.

 

 

Le Degré Hyperstatique

Un solide, ou un ensemble de solides, qui possède des appuis ou des liaisons surabondantes par rapport à ce qui est strictement nécessaire au maintien de l’équilibre, est dit statiquement indéterminable ou hyperstatique.

Pour ce cas, les actions exercées ne peuvent pas être déterminées à partir des seules équations de la statique.

 

Rappel :

Le PFS nous permet d’obtenir 3 équations :

 

åF_ext =0

3 équations

En projection sur x et y             2 équations

 

åM(F_ext)=0                         1 équation

 

notation :        Ne : nombre d’équations fournies par le PFS

Ni : Nombre d’inconnues

Degré Hyperstatique DH : Ni -Ne

 

Exemple :

La poutre (ABC) est en appui sur trois articulations fixes A, B et C qui donnent au total six inconnues statiques : A_x, A_y ,B_x ,B_y, C_x, C_y .On ne dispose que de trois équations pour la résolution, le système est dit hyperstatique d’ordre 3 (6-3 = 3).

 

 

 

 

 

 

 

 

Remarque :

Le calcul du degré hyperstatique est indépendant du chargement

 

3 cas sont envisagés :

si Ne=Ni : la structure est isostatique. La résolution du problème est possible par les équations de la statique.

si Ne>Ni : la structure est hypostatique. Elle n’est pas en équilibre et donc instable.

si Ne<Ni : La structure est hyperstatique. Elle possède des appuis ou des liaisons surabondantes par rapport à ce qui est strictement nécessaire au maintien de l’équilibre. Les équations de la statique ne suffisent pas pour la résolution du problème.

EQUILIBRE D’UN SYSTEME RETICULE

Définition

On appelle système réticulé ou treillis, une structure formée d’un assemblage de barres rectilignes reliées entre elles par des articulations. Ces liaisons sont appelées des nœuds.

 

Exemples de systèmes réticulés

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Détail d’un nœud :

 

 

 

 

 

 

 

 

Objectifs.

Déterminer les efforts exercés dans les barres, en vue de leur dimensionnement, au moyen d’hypothèses simplificatrices.

Hypothèses simplificatrices :

• On considère les barres rectilignes et indéformables,
• Les efforts exercés sur la structure sont appliqués uniquement sur les nœuds,( pas de charges sur les barres).
• On néglige le poids des barres,

 

Remarque :

Une barre articulée à ses deux extrémités est appelée biellette et n’est soumise qu’à de l’effort normal.

Les barres sont par conséquent soumises à de la traction ou de la compression.

 

 

Barre en compression :

 

 

 

Barre en traction :

Détermination du degré hyperstatique.

Relation entre le nombre de barres b et le nombre de nœuds n :  b = 2n-3

Si b < 2n-3 : la structure n’est pas rigide, elle est hypostatique.

Si b = 2n-3 : la structure est en équilibre, elle est isostatique et la résolution est possible avec le principe fondamental de la statique.

Si b > 2n-3 : la structure est hyperstatique, il y a des contraintes internes (des barres surabondantes).

Méthode des nœuds

Principe de la méthode :

Déterminer les actions de liaisons dans les barres d’une structure réticulée en étudiant l’équilibre de chaque nœud.

Remarque :

Chaque nœud étudié ne doit pas avoir plus de 2 « barres inconnues ».

Si la barre pousse le nœud, elle est en compression

Si la barre tire le nœud, elle est en traction

Méthode de RITTER

Principe de la méthode :

1/Après avoir déterminé les actions de liaison entre le treillis et son support (réactions d’appuis)

2/ Pour déterminer les forces dans une ou plusieurs barres il suffit de la couper (pour faire apparaître la force cherchée) .

3/ Continuer la coupure de façon à couper le treillis en deux

4/ Etudier l’équilibre d’un morceau pour déterminer les efforts dans les barres

Remarque :

Lors de la coupure du treillis il ne doit pas avoir plus de 3 « barres inconnues » coupées.

Applications

systeme reticule

Soit la structure ci-dessous :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vérifier que la résolution du problème est possible.

Calculer les actions de liaisons avec l’extérieur

Equilibre des différents nœuds

Conclusion : tableau récapitulatif

Barres	Effort	Type d’effort
AB
AC
BD
BC
CD

¢4 : Caractéristiques des sessions

CENTRE DE GRAVITE

Définitions

Points matériels : points qui ont une masse donc un poids (P = m.g)

Poids : force d’attraction terrestre qui est constante et toujours orientée vers le bas suivant une verticale

Centre de gravité : point particulier où l’on peut concentrer la masse (ou poids) de tous les points matériels constituant le système de façon que le système reste équivalent statiquement parlant.

Remarque :

Pour les pièces ayant une épaisseur constante, le poids est proportionnel à la surface P = k S.

 

Þ Centre de gravité de section

 

Centre de gravité de formes simples

FORMULAIRE
CENTRE DE GRAVITE
G est au milieu (intersection des diagonales)	G est au centre du cercle
G est à l’intersection des médianes

Méthode pour déterminer un centre de gravité d’une section complexe

Décomposer la section complexe en surface simple dont on connaît la surface et la position du centre de gravité (carré, rectangle, triangle, cercle, demi-cercle)

Mettre les axes O_x, O_y  (attention aux signes x,y)

Appliquer la formule du barycentre sur chaque surface pour obtenir le centre de gravité de la section totale.

Présenter les résultats dans un tableau

Surface élémentaire	xGi	yGi	Si	xGi Si	yGi Si

Totaux            S S_i =           S x_Gi S_i =               S y_Gi S_i =

 

Þ Formule  du barycentre

 

Remarque :

Lors de la décomposition il peut être plus rapide de prendre une surface plus grande à laquelle on déduit une autre surface pour avoir la surface réelle de l’élément.

 

Þ Dans ce cas S à déduire sera comptée négativement.

MOMENT STATIQUE

Hypothèse

Soit une section S appartenant à un plan x.o.y soumise à des contraintes s proportionnelles à x (s = k.x).

 

DS1

DS3

DS2

x1

x2

x3

o

x

s1

s2

s3

y

s1 = k.x1   s2 = k.x2   s3 = k.x3

 

 

 

 

 

avec

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DS1

DS3

DS2

x1

x2

x3

o

z

x

f1

f2

f3

y

f1 = k.x1.DS1   f2 = k.x2.DS2   f3 = k.x3.DS3

 

 

 

 

avec

 

 

 

 

 

 

 

Remarque : Si l’axe oy traverse S, les f sont de sens contraire de part et d’autre de oy.

x

o

z

f1

f2

f3

y

z

y

x

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Problème

On veut déterminer l’intensité de la résultante R des f qui sera appelé :

 = Moment statique de S/oy (oy appartenant au plan de S)

R = f₁ + f₂ + f₃….

= k.x₁.DS₁ + k.x₂.DS₂ + k.x₃.DS₃ +….

= S k.x.DS                                                           Si DS®0 Þ R = k

Définition du Moment statique

Moment statique de S/oy        A_y =                  Moment statique de S/ox       A_x =

Exemple : Calculer le moment statique d’un rectangle /base en fonction de b et h.

 

b

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Propriété du Moment statique

a / On sait que  X_G =

Þ Ay = X_G x S

 

Þ Ax = Y_G x S

 

b / Si oy passe par G Þ X_G= 0  Þ Ay = 0

 

c / Unité : L³ ( m³, cm³ …) et Signe de Ax ou Ay : Quelconque.

Moment quadratique

Hypothèse

Même hypothèse que pour le moment statique.

Problème

On veut déterminer le moment résultant/oy. = Moment quadratique de S/oy (oy appartenant au plan de S)

Þ  M^tr/oy = f₁.x₁ + f₂.x₂ + f₃.x₃ + …..

= s₁.DS₁.x₁ + s₂.DS₂.x₂ + s₃.DS₃ x₃ +….

= k.x₁.DS₁.x₁ + k.x₂.DS₂ x₂ + k.x₃.DS₃ x₃+….

= k.x₁².DS₁ + k.x₂².DS₂ + k.x₃².DS₃ +….

M^tr/oy = k S x².ds

= k

Définition du Moment quadratique

Moment quadratique de S/oy         I_y =

Moment quadratique de S/ox         I_x =

Unité  : L⁴ ( m⁴, cm⁴…..)

Exercice : Déterminer le moment quadratique d’un rectangle

 

1/base (ox) en fonction de b et h

2/médiatrice (Gx’)en fonction de b et h

 

b

x

y

x’

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Changement de coordonnées (th d’Huygens)

M

x

x’

y

H

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Problème

Connaissant I_x’ on veut déterminer I_x ; Or I_x =

Soit le point M à l’abscisse y

Þ I_x  =  =

I_x = Signe de Ax ou Ay : Quelconque.

I_x = +2d + d²

Þ I_x  = Ix’ + 2d + Sd²

= Ay/Gx’= 0

 

 

 

Þ Théorème d’HUYGENS

I_x  = Ix’ + Sd²

S : Aire de la section

d : Distance entre les 2 axes

 

N.B : Le théorème d’Huygens permet de déterminer le moment quadratique d’une surface par rapport à un axe quelconque, en partant uniquement d’un axe passant par G dont on connaît le moment quadratique, et en y ajoutant le terme Sd² (les 2 axes étant //).

Moment quadratique polaire

Hypothèses

Soit une section S appartenant à un plan x.o.y soumise à des contraintes tangentielles t avec :

DS1

DS3

DS2

x

2

r3

o

ft1

ft2

ft3

y

S

r2

r1

et

ft = t.DS t1 = k.r1 t2 = k. r2 t3 = k. r3

a/t proportionnelles à x (t= k.x).

b/t perpendiculaire au rayon issu de oz.

a/t ou ft dans le même sens de rotation/ oz ( cas de la torsion).

 

Problème

On veut déterminer le moment résultant des ft/oz. = Moment quadratique polaire de S/oz (S appartenant au plan xoy)

Þ  M^tr/oz = f₁. r₁ + f₂. r₂ + f₃. r₃ + …..

= k. r₁.DS₁. r₁ + k. r₂.DS₂ r₂ + k. r₃.DS₃ r₃+….

= k. r₁².DS₁ + k. r₂².DS₂ + k. r₃².DS₃ +….

M^tr/oy = k S r ².Ds = k

Définition du Moment polaire

Moment quadratique polaire de S/oz :  I_p =     Unité : L⁴ ( m⁴, cm⁴…..)

Propriété :

r² = x² + y²       :    I_p = = +

Le moment quadratique polaire est la somme des moments quadratiques/ 2 axes perpendiculaires

I_{p =} I_x + I_y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢5 : RDM : Généralités

But de la RDM.

La résistance des matériaux se propose d’étudier la déformation et la limite de résistance d’un solide (structure) soumis à un système de forces extérieures.

Concrètement :

Contrainte :

Flèche :

Hypothèses de la RDM.

1) Les matériaux sont :        homogènes (texture du matériau continue et identique)

isotropes  (mêmes propriétés mécaniques dans toutes les                                                          directions)

2) Les solides étudiés sont en forme de poutre.

Solide engendré par une aire plane (s) dont le centre de gravité décrit une droite ou une faible courbe G0G1, le plan de (S) restant normal à cette courbe.

* On étudie essentiellement les poutres droites possédant un plan de symétrie.

3) Navier Bernouilli :

Les sections planes perpendiculaires à la ligne moyenne restent planes après déformation et perpendiculaires.

4) Loi de Hooke : les déformations sont faibles, progressives et réversibles

Þ Domaine élastique

Þ Relation linéaire entre contraintes et déformations

5) Principe de St Venant : les effets sont indépendants du mode de liaison, mais uniquement fonction des sollicitations en se plaçant suffisamment loin de ces liaisons.

Notion de contrainte.

* Soit un solide en équilibre sous l’action de forces extérieures :

 

 

 

 

 

 

* Coupons le solide suivant une section (S).

 

* Isolons le tronçon (1) située à gauche et établissons son schéma mécanique :

 

Bilan des forces appliquées

¨ Forces extérieures (F1, F2, F3)

¨ Actions de contact de (2) ® (1) en tous points de S

 

* Sur chaque élément de surface (Ds) sur S agit une force

DF (de direction quelconque en générale)

 

 

Composantes d’une contrainte.

DF : à 2 composantes

• Composante normale perpendiculaire à (S) : DFn
• Composante tangentielle dans le plan (S) : DFt

 

L’ensemble des forces DF est:

1. a) des forces intérieures lorsque l’on étudie le solide en entier
2. b) des forces extérieures lorsque l’on étudie un tronçon de solide.

 

Définitions

On appelle contrainte normale : s =               (traction, compression)

On appelle contrainte tangentielle :   t=    (cisaillement) Unités en Pascal et MégaPascal MPa

Répartition uniforme des contraintes (sur une section)

Soit une section fictive soumise à des contraintes s et t

Hypothèse : Répartition uniforme des contraintes s sur S (traction ou compression).

Problème : Résultante des forces normales fn sur S (Intensité ; position).

Intensité de F (résultante des fn)

Sur chaque élément de surface Ds agit une force normale fn.

or    Þ fn1 = s x Ds1 ; fn2 = s x Ds2  et  fn // oz   Þ F // oz

Þ F = s ( Ds1 + Ds2 + ………….) = s S      Þ F = s S

Point d’application de F

Méthode : Système équivalent ( S Mt identique) Þ Mt/ox(F) = S Mt/ox(fn)

Þ F . yG = fn1 . y1 + fn2 . y2 .

s.S.yG = S s.Dsi.yi

 

Si  Mt/oy(F)

¢6 : Traction simple et compression simple

Définitions.

Un solide est sollicité :

En traction simple lorsqu’il est soumis à deux forces directement opposées situées sur la ligne moyenne et qui tendent à l’allonger.

En compression simple lorsqu’il est soumis à deux forces directement opposées situées sur la ligne moyenne et qui tendent à le raccourcir

Essai de traction

On soumet une éprouvette cylindrique de dimensions normalisées à un essai de traction. On enregistre les déformations en fonction de la force N ( N augmentant progressivement jusqu’à obtenir la rupture de l’éprouvette).

Etude du graphe :

N : effort de traction

L : allongement de l’éprouvette.

L : longueur de l’éprouvette.

Etude de la Zone élastique OA.

Les allongements sont proportionnels aux efforts de traction.

N = k L

Limite élastique :   avec S section de l’éprouvette.

Les fournisseurs d’acier garantissent cette valeur ; exemple : FeE 500 fe =  500 MPa

L’allongement de l’éprouvette L est proportionnel à sa longueur initiale Lo

L : allongement de l’éprouvette

Lo : longueur initiale

Þ définit un allongement relatif

• Contraintes.

Pour faire apparaître les contraintes dans l’éprouvette il faut couper celle-ci (à une abscisse x)

Par application du principe de Bernouilli ( Dx et donc e constant pour toutes les fibres)

et de la Loi de Hooke s = k L ou s = ke

Þ s : identique pour toutes les fibres Þ s est uniformément répartie sur la section S

 

 

 

Diagramme contrainte – déformation:

Puisque  et  : on peut tracer le diagramme de l’essai en fonction de s et e (diagramme homothétique au précédent)

 

 

 

 

 

 

• Loi de Hooke .

On peut remarquer que dans la zone élastique les contraintes sont bien proportionnelles aux déformations :

Þ

s = e.tana  si on pose E = tana

s = e.E

E : module de Young ou module d’élasticité longitudinal

E : est une constante pour un matériau donné ; par exemple : E = 2  MPa pour l’acier

Zone plastique AC.

Lorsque l’on atteint cette zone on constate un allongement appréciable de l’éprouvette sans que l’effort augmente beaucoup.

En déchargeant l’éprouvette on constate qu’il reste un allongement permanent de l’éprouvette e (déformation rémanente).

 

Résistance à la rupture Rr :

Calculs pratiques :

Compte tenu des hypothèse de la RDM (Bernoulli ) la contrainte dans les matériaux devra toujours être inférieure à contrainte admissible fixée réglementairement, notée  (contrainte normale admissible)

Exemple :

= fe = 240 MPa ( pour un un acier FeE 240 suivant  le CM 66)

= fsu = 500/1.15 (pour un acier FeE 500 suivant le BAEL 93 à l’ELU)

=  = 0.6 fc28 (pour le béton comprimée, suivant le BAEL 93 à l’ELS)

Vérification d’une section

Données :

N : Effort de traction ou de compression, en N.

S : Aire de la section sollicitée, en m².

: Contrainte admissible du matériau.

On doit vérifier que la contrainte normale  £

Détermination d’une section

Données :

N : Effort de traction ou de compression, en N.     : Contrainte admissible du matériau.

 

On veut déterminer la section nécessaire et suffisante de façon à ce l’élément « résiste » :

Donc faire en sorte que : s £  Þ  £   Þ  S ³

Calcul d’allongement ou de raccourcissement:

Données :

N : Effort de traction ou de compression, en N.

S : Aire de la section sollicitée, en m².

Lo: Longueur initiale de l’élément.

E : Module d’élasticité longitudinal

1/ 2/ 3/ L =e.Lo

 

 

s = e.E

Ou  L

 

 

Remarque :

Les formules précédentes sont valables pour les pièces tendues et les pièces comprimées, dites courtes (pour les pièces comprimées « longues », le calcul sera mené au flambement).

Coefficient de Poisson :

Il existe un rapport constant entre la déformation transversale  et l’allongement longitudinal .

= –   (Dr æ quand DL ä)  = coefficient de poisson (caractéristique du matériau)

Problème : déterminer la variation relative de volume en fonction de la variation relative de longueur

V = p.r² L            Valeur de  ; Cas limite  = 0.5 Þ dV = 0  ( caoutchouc)

Cas général : compris entre 0.25 et 0.3.